Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Tabula  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Курс МА.
Готовые занятия

 

Список курсов ВМ

 

 
Занятие 28
Теоретическая справка Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Частные производные ~Производная по направлению ~ Градиент ~ Полный дифференциал~ Производные и дифференциалы высших порядков

 

Частные производные. Пусть  image173.gif (994 bytes)- функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки image174.gif (1006 bytes). Если существует конечный предел   image175.gif (1541 bytes), то говорят, что функция   image173.gif (994 bytes)имеет в точке image174.gif (1006 bytes)частную производную по переменной  image178.gif (860 bytes) . Аналогично определяется частная производная по   image179.gif (870 bytes) . Обозначают:

1801.gif (1751 bytes)

1802.gif (1539 bytes) .

Пусть image181.gif (1358 bytes)- функция n переменных, определенная в области  image182.gif (871 bytes) n-мерного пространства. Частной производной функции image183.gif (1091 bytes)по переменной image184.gif (879 bytes) называется предел

1851.gif (1857 bytes)

1852.gif (1282 bytes).

Из определения частной производной следует правило: при вычислении производной по одной из переменных все остальные переменные считаем постоянными, учитывая, что производная постоянной равна нулю и постоянную можно выносить за знак производной.

 

ПРИМЕР 1.  Вычисление частных производных.

 

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный векторimage186.gif (1276 bytes) , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению:image188.gif (2018 bytes) . В частности, для функции трех переменных  image189.gif (1834 bytes)image190.gif (1132 bytes)- направляющие косинусы вектора  image191.gif (859 bytes).

 

ПРИМЕР 2.  Вычисление производных по направлению.

В начало страницы

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора  image191.gif (859 bytes) и вектора с координатами  image192.gif (1381 bytes) , который называется градиентом функции   image193.gif (1026 bytes) и обозначается    image194.gif (979 bytes). Поскольку  image195.gif (1371 bytes) , где  image196.gif (874 bytes) - угол между   image197.gif (979 bytes)и  image191.gif (859 bytes) , то векторimage197.gif (979 bytes) указывает направление скорейшего возрастания функции   image199.gif (1026 bytes), а его модуль равен производной по этому направлению.

 

ПРИМЕР 3.  Вычисление градиента функции.

В начало страницы

Полный дифференцал. Для приращения дифференцируемой функции   image200.gif (1091 bytes)справедливо равенство   image201.gif (2172 bytes) . Линейная по приращениям аргументов часть приращения функции называется полным дифференциалом функции image202.gif (1091 bytes)и обозначается    image203.gif (1675 bytes).

ПРИМЕР 4.  Вычисление полного дифференциала.

В начало страницы

Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, получим производные второго порядка. Например, для функции двух переменных: image204.gif (2875 bytes). Если смешанные производные   image205.gif (1068 bytes)  и   image206.gif (1065 bytes)  непрерывны, то они равны, то есть не зависят от порядка дифференцирования. Аналогично определяются, например,    image207.gif (1350 bytes) . Если при вычислении полного дифференциала от дифференциала первого порядка учесть, что приращения аргументов image208.gif (1086 bytes)есть числа и оставить их неизменными, то получим дифференциал второго порядка. Например, для функции двух переменных:   image209.gif (1981 bytes) . Здесь учтено равенство смешанных производных второго порядка и принято   image210.gif (1112 bytes) . При этих допущениях формулу дифференциала любого порядка можно получить из символического выражения:   image211.gif (1534 bytes).

ПРИМЕР 5.  Вычисление производных высших порядков.

В начало страницы

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2014. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 15.04.14
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100