Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Tabula  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Курс МА.
Готовые занятия

 

Список курсов ВМ

 

 
Занятие 15
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Первообразная и неопределенный интеграл ~ Интегрирование заменой переменной ~ Интегрирование по частям

Первообразная и неопределенный интеграл - Рассмотрим функцию Image780.gif (961 bytes), определенную на промежутке Image781.gif (980 bytes)(здесь возможно Image782.gif (1046 bytes)). Дифференцируемая на промежутке    Image781.gif (980 bytes) функция Image783.gif (961 bytes), производная которой в каждой точке равна Image784.gif (961 bytes), называется первообразной функции  Image784.gif (961 bytes): Image785.gif (1089 bytes). Поскольку  Image786.gif (1416 bytes), то можно говорить о семействе первообразных — множестве функций вида  Image787.gif (1082 bytes), Image785.gif (1089 bytes). Семейство первообразных  Image787.gif (1082 bytes) функции Image784.gif (961 bytes)называется неопределенным интегралом функции Image784.gif (961 bytes) и обозначается символом Image788.gif (1076 bytes):Image789.gif (1259 bytes) для всех Image790.gif (1031 bytes). Здесь   Image791.gif (907 bytes) — знак интеграла, Image792.gif (1008 bytes)— подынтегральное выражение,  Image784.gif (961 bytes)— подынтегральная функция,  Image793.gif (859 bytes)— переменная интегрирования, Image794.gif (1017 bytes)— значение неопределенного интеграла, семейство первообразных функции Image784.gif (961 bytes), Image795.gif (1708 bytes). То есть производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Наоборот,   Image796.gif (1290 bytes) , следовательно, дифференцирование и вычисление неопределенного интеграла, – взаимно обратные операции. Не представляет труда с помощью таблицы производных составить таблицу неопределенных интегралов. Важным свойством неопределенного интеграла является линейность:Image797.gif (1767 bytes) , здесь   Image798.gif (918 bytes) - постоянные. Вычисление неопределенного интеграла обычно сводится к преобразованию подынтегрального выражения так, чтобы можно было воспользоваться таблицей интегралов.

ПРИМЕР 1.  Простейшие методы интегрирования

Интегрирование заменой переменной - Если Image799.gif (951 bytes)— непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая  Image800.gif (1001 bytes) , получим формулу интегрирования заменой переменной   Image801.gif (1460 bytes) . Если замена переменной выбрана правильно, то интеграл в правой части должен легко вычисляться. Для некоторых классов функций существуют стандартные замены, сводящие интеграл к табличному.

ПРИМЕР 2.  Замена переменной в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям - Пусть  Image802.gif (1065 bytes) - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям Image803.gif (1207 bytes). Название “по частям” связано с тем, что для записи интеграла в правой части нужно проинтегрировать “часть”    Image804.gif (1003 bytes) подынтегрального выражения в левой части. Метод интегрирования по частям используется для интегралов вида   Image805.gif (1063 bytes)Image806.gif (1117 bytes)Image807.gif (1117 bytes)Image808.gif (1068 bytes)и некоторых других.

ПРИМЕР 3.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

В начало страницы

 

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2014. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 18.09.14
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100