Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Tabula  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Курс МА.
Готовые занятия

 

Список курсов ВМ

 

 
Занятие 12
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Вертикальные и наклонные асимптоты ~ Исследование функций с помощью производной ~ Исследование функций с помощью второй производной

Вертикальные и наклонные асимптоты.

Рассмотрим функцию Image110.gif (965 bytes), определенную на промежутке Image111.gif (974 bytes)(возможно,  Image531.gif (1582 bytes)) . Характер поведения функции в области определения можно исследовать, опираясь на следующие утверждения.
Если Image532.gif (1037 bytes), то график функции пересекает ось абсцисс в точке Image113.gif (884 bytes) .
Если Image533.gif (1040 bytes), то график функции пересекает ось ординат в точке  Image115.gif (1037 bytes).
Если в точке Image534.gif (1061 bytes) функция имеет бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту Image117.gif (945 bytes) (Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. В случае бесконечного разрыва расстояние от кривой до вертикальной асимптоты Image535.gif (945 bytes) стремится к нулю при Image536.gif (969 bytes)справа, слева или с обеих сторон).

ЕслиImage118.gif (1156 bytes) , Image119.gif (1144 bytes)или Image120.gif (1165 bytes), существуют и конечны пределы Image121.gif (1217 bytes)и Image537.gif (1277 bytes), то прямая Image123.gif (1015 bytes)— асимптота графика функции.

Если Image538.gif (1177 bytes), то график функции имеет на левой границе области сходимости вертикальную асимптоту Image125.gif (909 bytes) ; аналогично, если Image539.gif (1176 bytes), то график функции имеет на правой границе области сходимости вертикальную асимптоту Image127.gif (918 bytes).

Если Image540.gif (1137 bytes)и существует такое число Image541.gif (938 bytes), что Image542.gif (1130 bytes)для любого Image543.gif (1053 bytes), то исследуемая функция периодична с периодом Image132.gif (864 bytes); в этом случае достаточно построить график функции на промежутке Image544.gif (978 bytes) и доопределить его по периодичности на всю числовую ось.

Если Image545.gif (1286 bytes), то исследуемая функция четная; этом случае график симметричен относительно оси ординат; достаточно построить график функции на промежутке Image546.gif (978 bytes) и отобразить его симметрично относительно оси ординат на Image547.gif (978 bytes).

Если  Image137.gif (1351 bytes), то исследуемая функция нечетная; этом случае график симметричен относительно начала координат; достаточно построить график функции на промежутке Image548.gif (978 bytes) и отобразить его симметрично относительно начала координат на Image549.gif (985 bytes).

ПРИМЕР 1. Отыскание асимптот графика функции.

Исследование функций с помощью производной.

Если функция дифференцируема на промежутке Image111.gif (974 bytes), за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то можно дополнить изучение поведения функции исследованием на экстремум (точки максимума и точки минимума функции имеют общее название — точки экстремума), используя следующие утверждения.

Для того, чтобы дифференцируемая на Image111.gif (974 bytes)функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы Image550.gif (1026 bytes)(Image551.gif (1030 bytes)) на Image111.gif (974 bytes).

Пусть в точке Image552.gif (945 bytes) производная Image553.gif (1052 bytes) или не существует. Если существует окрестность точки Image554.gif (886 bytes), такая, что для Image555.gif (857 bytes) из этой окрестности Image556.gif (1036 bytes)при Image557.gif (956 bytes) и Image558.gif (1025 bytes)приImage559.gif (958 bytes) , то функция имеет в точкеImage150.gif (884 bytes) максимум. Если же Image560.gif (1034 bytes)при Image561.gif (956 bytes) и Image562.gif (1028 bytes) при Image563.gif (958 bytes) , то функция имеет в точке Image564.gif (891 bytes) минимум (в этом случае говорят, что “производная меняет знак при переходе через точку Image170.gif (945 bytes)”).

Если непрерывная в точкеImage564.gif (891 bytes) функция Image566.gif (946 bytes)дифференцируема на Image158.gif (1191 bytes), при этомImage567.gif (1034 bytes) на Image568.gif (981 bytes) и Image569.gif (1025 bytes)на Image570.gif (983 bytes), то функция имеет в точке Image150.gif (884 bytes)максимум; если же Image571.gif (1025 bytes)при Image572.gif (956 bytes) и Image573.gif (1028 bytes) при Image574.gif (967 bytes), то функция имеет в точке Image150.gif (884 bytes) минимум.  

ПРИМЕР 2. Нахождение интервалов монотонности и экстремумов.

Исследование функций с помощью второй производной.

Если функция дважды дифференцируема на промежутке Image111.gif (974 bytes), за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости.

График функции Image167.gif (965 bytes)называется выпуклым (выпуклым вниз) на промежутке Image111.gif (974 bytes), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке Image575.gif (1012 bytes), Image576.gif (1012 bytes). Если же график функции лежит ниже касательной, — то он называется вогнутым (выпуклым вверх).

Если дважды дифференцируемая на промежутке Image111.gif (974 bytes) функция Image167.gif (965 bytes)имеет на нем положительную вторую производную, то функция выпуклая на Image111.gif (974 bytes). Если же вторая производная отрицательна на промежутке Image111.gif (974 bytes), то функция на нем вогнута.

Если вторая производная равна нулю в точке Image170.gif (945 bytes), а слева и справа от нее имеет значения разных знаков, точка Image170.gif (945 bytes) — точка перегиба.

ПРИМЕР 3. Нахождение интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба.

В начало страницы

 

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2014. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 23.04.14
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100