Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Tabula  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


Курс МА.
Готовые занятия

 

Список курсов ВМ

 

 
Занятие 17
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Определенный интеграл, его геометрический смысл ~Формула Ньютона-Лейбница ~ Методы вычисления определенного интеграла 

 

Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Рассмотрим функцию Image975.gif (961 bytes), определенную на промежутке Image976.gif (974 bytes). Разобьем промежуток на  Image977.gif (864 bytes) произвольных частей точками  Image978.gif (1297 bytes) и обозначим Image979.gif (1042 bytes), Image980.gif (1057 bytes), Image982.gif (1104 bytes). На каждом промежутке   Image983.gif (1026 bytes) возьмем произвольную точку Image984.gif (888 bytes) и вычислим в ней значение функцииImage975.gif (961 bytes). Выражение  Image986.gif (1360 bytes) называется интегральной суммой функции Image975.gif (961 bytes) на  Image987.gif (976 bytes).Если при Image988.gif (947 bytes) существует и конечен предел последовательности частичных сумм  Image989.gif (1100 bytes), не зависящий ни от способа разбиения промежутка Image987.gif (976 bytes) точками  Image990.gif (1297 bytes), ни от выбора Image991.gif (1092 bytes), то этот предел называют определенным интегралом от функцииImage975.gif (961 bytes) по промежутку Image987.gif (976 bytes), а саму функцию — интегрируемой на Image987.gif (976 bytes). Обозначают    Image992.gif (1462 bytes).

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если Image993.gif (1021 bytes), то  Image994.gif (1139 bytes) равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми Image995.gif (1012 bytes).

ПРИМЕР 1.  Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы.

Формула Ньютона-Лейбница.

Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница Image996.gif (1423 bytes)=Image997.gif (1037 bytes), здесь символ  Image998.gif (905 bytes)означает, что из значения Image999.gif (961 bytes) при верхнем пределе b нужно вычесть значение при нижнем пределе a , Image999.gif (961 bytes)первообразная функция для Image975.gif (961 bytes). Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной, то есть неопределенного интеграла.

ПРИМЕР 2.  Вычисление определенного интеграла.

Методы вычисления определенного интеграла.

Если Image1001.gif (950 bytes)— непрерывно дифференцируемая на отрезке Image1002.gif (980 bytes) функция, Image1003.gif (1023 bytes), Image1004.gif (1024 bytes)и Image1005.gif (1096 bytes), когда Image1006.gif (857 bytes) изменяется на Image1002.gif (980 bytes) , то, положив Image1007.gif (996 bytes) , получим формулу замены переменной в определенном интеграле  Image1008.gif (1582 bytes).

Пусть Image802.gif (1065 bytes) - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям  Image1009.gif (1371 bytes) . Эта формула применяется для тех же классов функций, что и при вычислении неопределенного интеграла.

ПРИМЕР 3.  Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

В начало страницы

 

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2014. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 15.04.14
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100